Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 5}{2 x} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 5$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 5$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 5}{2 x}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 5}{2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$x > 0$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 8) + 5}{2 (- 8)} < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $0.1875$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) + 5}{2 (- 2)} < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 0.75$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(2) + 5}{2 (2)} < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $1.75$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 0$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, 0)$

Étape 11